문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 디랙 델타 함수 (문단 편집) == 상세 == {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \delta_{n}(x)=\frac{n e^{-n^{2}x^{2}} }{\sqrt{\pi}} )][* 식의 형태에서 알 수 있듯 [[확률분포]] 중 하나인 [[정규분포]]의 [[확률밀도함수]]를 변형한 것이다. 아래에서도 서술하지만, 이 식은 유일한 델타 함수식이 아니고, 델타 함수로 정의되는 여러 함수식중 하나이다. ]}}} 디랙 델타 함수를 기술하는 함수를 찾기 위해 위와 같은 함수를 고려한다. 이때 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta_{n}(x)\,\mathrm{d}x=1 )]}}} 이므로 디랙 델타 함수의 성질을 만족시킨다.[* 적분값에 대한 계산법은 [[가우스 적분]] 문서를 참조하라.] 다만, 함숫값이 [math(x=0)] 이외에는 존재하지 않게 하기 위해 극한을 사용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\delta_{n}(x) \to \delta(x) )]}}} 가 된다.[* 등호로 표현하지 않은 것은 극한값을 갖는다는 것이 아닌 함수의 형태가 디랙 델타 함수의 정의에 맞게 감을 표현하기 위해서이다.] 이 때, [math(\delta_{n}(x))]를 디랙 델타 함수의 sequence라 한다. 그러나, 수학적으로 엄밀히 말하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta_{n}(x) f(x)\,\mathrm{d}x = f(0) )]}}} 이 명확한 디랙 델타 함수의 정의이다. 왜냐하면, 수학적인 관점에선 [math(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\delta_{n}(x) )]는 존재하지 않기 때문이다.[* 이말인 즉슨, 이 정의가 수학적으로 엄밀한 함수가 아닌, 분포라는 것을 시사한다. ] 사실 디랙 델타 함수의 sequence는 위의 함수 말고도 여러 가지가 존재한다. 왜냐하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta_{n}(x)\,\mathrm{d}x=1 \qquad \qquad \lim_{n\to \infty}\delta_{n}(x) \to \delta(x) )]}}} 를 만족시키는 함수가 여럿이기 때문이다. 아래의 예는 그러한 sequence들의 몇 가지 예시를 나타낸 것이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \delta_{n}(x) &= \begin{cases} 0, & |x|>\dfrac{1}{2n} \\ \\ n, & |x| \leq \dfrac{1}{2n} \end{cases} \\ \delta_{n}(x) &=\frac{n}{\pi} \frac{1}{1+n^2 x^2} \\ \delta_{n}(x) &=\frac{\sin{(nx)}}{\pi x} \end{aligned} )]}}} 아래의 그림[*출처 Arfken, "Mathematical Methods for Physicists: A Comprehensive Guide 7th Edition"]은 위에서 제시된 디랙 델타 함수의 sequence의 개형을 나타낸 것이다. sequence는 굳이 [[대칭함수|짝함수]]일 필요는 없음에 주의해야 한다.[* 예시: [[에어리 함수]]를 [[https://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html|이용]]한 [math(\displaystyle \delta_{n}(x)= n \mathrm{Ai}(nx) )]] [[파일:디랙델타함수 시퀀스.svg|width=500&align=center]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기